finished proof

pac.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \documentclass{article}
-\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsmath,amssymb, amsthm}
 \usepackage{geometry}
 \usepackage[colorlinks=true, linkcolor=blue, urlcolor=blue]{hyperref}
 \usepackage{enumitem}
@@ -124,12 +124,42 @@
 \subsubsection{Racines n-ièmes complexes}
 \begin{itemize}
 	\item Soit $z_0 = \rho e^{i\theta}$ un nombre complexe non nul écrit sous la forme polaire et n un entier naturel strictement positif. Alors l'équation $z^n = z_0$ admet pour solutions les $n$ nombres $\sqrt[n]{\rho}e^{i\frac{\theta}{n} }$, ... ,
-	      $\sqrt[n]{\rho}e^{i\frac{\left(\theta + 2\left(n-1\right)\pi\right)}{n}}$
-	      \item{Demonstration} -- On vérifie d'abord que les nombres proposé vérifient bien $z^n = z_0$: \\
-	      si $k \in \{0,...,n-1\}$,
+	      \item{Demonstration: } — On vérifie d’abord que les nombres proposés vérifient bien
+	      $z^{n}=z_{0}$ : si $k\in\{0,\ldots ,n-1\}$,
 	      \[
-		      \sqrt[n]{\rho}
-	      \],
+		      \left(\sqrt[n]{\rho}\, e^{i(\theta+2k\pi)/n}\right)^{n}
+		      = (\sqrt[n]{\rho})^{n}\, \bigl(e^{i(\theta+2k\pi)/n}\bigr)^{n}
+		      = \rho\, e^{i(\theta+2k\pi)}
+		      = \rho\, e^{i\theta}\, e^{i2k\pi}
+		      = \rho\, e^{i\theta}
+		      = z_{0}.
+	      \]
 
+	      Comme $z_{0}\neq 0$, ces nombres sont deux à deux distincts.
+	      En effet, si $k$ et $j$ sont dans $\{0,\ldots ,n-1\}$,
+	      \[
+		      \sqrt[n]{\rho}\, e^{i(\theta+2k\pi)/n}
+		      = \sqrt[n]{\rho}\, e^{i(\theta+2j\pi)/n}
+		      \iff
+		      e^{i(\theta+2k\pi)/n}
+		      = e^{i(\theta+2j\pi)/n}
+	      \]
+	      \[
+		      \iff
+		      e^{i(2(k-j)\pi)/n}=1
+		      \iff
+		      \frac{k-j}{n}\in\mathbb{Z}
+		      \iff
+		      k=j.
+	      \]
+
+	      On a donc trouvé $n$ racines deux à deux distinctes du polynôme
+	      $P(z)=z^{n}-z_{0}$, qui est de degré $n$, donc ces racines sont les seules racines
+	      de $P$. \qed
+
+	      En particulier les nombres de la forme
+	      \[
+		      e^{\, i(2k\pi/n)},\qquad k=0,\ldots ,n-1,
+	      \]
 \end{itemize}
 \end{document}