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03-12-2025.tex

@@ -0,0 +1,125 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{geometry}
+\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=blue, urlcolor=blue]{hyperref}
+\usepackage{enumitem}
+\geometry{a4paper, margin=1in}
+\begin{document}
+\Large
+\section{Preuves A Connaitre (PAC)}
+\subsection{Chapitre 1}
+\subsubsection{Les identités structurales usuelles.}
+
+\begin{itemize}
+	\item
+	      Soit $Z_1 et Z_2$ des nombres complexes, alors on a les égalités:
+	      \[
+		      \overline{Z_1 + Z_2} = \overline{Z_1} + \overline{Z_2}
+	      \]
+	      \[
+		      \overline{Z_1 \times Z_2} = \overline{Z_1} \times \overline{Z_2}
+	      \]
+	      \[
+		      \lvert Z_1  \times Z_2\rvert = \lvert Z_1 \rvert \times \lvert Z_2 \rvert
+	      \]
+	\item Demonstrations:
+	      \[
+		      Z_1 = a+ib \]
+	      \[Z_2 = a^\prime +ib^\prime\]
+	      \begin{itemize}
+		      \item $\overline{Z_1 + Z_2} = \overline{Z_1} + \overline{Z_2}:$
+		            \[
+			            \overline{Z_1 + Z_2} = \overline{a + ib + a^\prime + ib^\prime} = a + a ^\prime - i\left(b + b^\prime\right)
+		            \]
+		            or
+		            \[
+			            \overline{Z_1} + \overline{Z_2} = \overline{a+ib} + \overline{a^\prime+ib^\prime} = a + a ^\prime - i\left(b + b^\prime\right)
+		            \]
+		            donc:
+		            \[\overline{Z_1 + Z_2} = \overline{Z_1} + \overline{Z_2} \]
+		      \item $\overline{Z_1 Z_2} = \overline{Z_1}\,\overline{Z_2}:$
+		            \[
+			            Z_1Z_2=(a+ib)(a'+ib')=aa'-bb' + i(ab'+a'b)
+		            \]
+		            \[
+			            \overline{Z_1Z_2}=aa'-bb' - i(ab'+a'b)
+		            \]
+		            or
+		            \[
+			            \overline{Z_1}\,\overline{Z_2}=(a-ib)(a'-ib')=aa'-bb' - i(ab'+a'b)
+		            \]
+		            donc:
+		            \[
+			            \overline{Z_1 Z_2}=\overline{Z_1}\,\overline{Z_2}
+		            \]
+		      \item $\lvert Z_1Z_2\rvert=\lvert Z_1\rvert\,\lvert Z_2\rvert:$
+		            \[
+			            Z_1=a+ib,\qquad Z_2=a'+ib'
+		            \]
+		            \[
+			            Z_1Z_2=(a+ib)(a'+ib')=aa'-bb' + i(ab'+a'b)
+		            \]
+		            \[
+			            \lvert Z_1Z_2\rvert^2=(aa'-bb')^2+(ab'+a'b)^2
+		            \]
+		      \item
+		            Développer séparément :
+		            \[
+			            \lvert Z_1\rvert^2=a^2+b^2,\qquad \lvert Z_2\rvert^2=a'^2+b'^2
+		            \]
+
+		            Produit :
+		            \[
+			            \lvert Z_1\rvert^2\,\lvert Z_2\rvert^2=(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)
+		            \]
+
+		            Égalité d’identité algébrique :
+		            \[
+			            (aa'-bb')^2+(ab'+a'b)^2=(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)
+		            \]
+
+		            Donc :
+		            \[
+			            \lvert Z_1Z_2\rvert^2=\lvert Z_1\rvert^2\,\lvert Z_2\rvert^2
+		            \]
+		            \[
+			            \lvert Z_1Z_2\rvert=\lvert Z_1\rvert\,\lvert Z_2\rvert
+		            \]
+
+	      \end{itemize}
+
+
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Solutions d'un polynôme du second degré}
+\begin{itemize}
+	\item Soit $Z_1, Z_2 \in \mathbf{C} $ des solutions d'un polynôme de degré 2 telles que:
+
+
+	      \[
+		      a\left(z - Z_1\right)\left(z - Z_2\right) = az^2 + bz + c
+	      \]
+	      on cherche a vérifier que $Z_1$ et $Z_2$ sont solutions de $az^2 + bz + c$
+	\item Demonstration:
+	      \[
+		      Z_1 = \frac{-b+\delta}{2a}
+	      \]
+	      \[
+		      Z_2 = \frac{-b-\delta}{2a}
+	      \]
+	      Avec $\delta^2 = \Delta$ et $\Delta = b^2 - 4ac$ \\
+	      On obtient donc avec le membre de gauche:
+	      \[
+		      a\left(z-Z_1\right)\left(z-Z_2\right) = a\left(z - \frac{-b+\delta}{2a}\right)\left(z - \frac{-b-\delta}{2a}\right)
+	      \]
+	      \[
+		      =a\left(z^2 -z \times\left(\frac{-b-\delta}{2a} + \frac{-b+\delta}{2a}\right)  + \frac{b^2 - \delta^2}{4a^2}\right)
+	      \] or $\delta^2 = \Delta = b^2 - 4ac$
+	      \[
+		      =a\left(z^2+z\frac{b}{a}+\frac{-b^2-b^2+4ac}{4a^2}\right)
+		      = \boxed{az^2 + bz + c}
+	      \]
+	      Qui correspond au membre de droite donc à une equation de degré 2.
+\end{itemize}
+
+\end{document}